在这个帖子中将陆续收集一些易忘记的定义, 仅为查阅时方便.

1.  范数, 半范数, 拟范数

设$V$是复线性空间, $\|\cdot \|: V\to \mathbf{R}$

(1) 称$\|\cdot\|$是范数(norm), 是指 a) $\|v\|\geq 0$, 且$\|v\|=0$ iff $v=0$; b) $\|cv\|=|c|\cdot \|v\|$; c) $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$.

(2) 称$\|\cdot\|$是半范数(semi-norm), 是指 a) $\|v\|\geq 0$; b) $\|cv\|=|c|\cdot \|v\|$; c) $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$.

(3) 称$\|\cdot\|$是拟范数(quasi-norm), 是指 a) $\|v\|\geq 0$, 且$\|v\|=0$ iff $v=0$; b) $\|cv\|=|c|\cdot \|v\|$; c) $\exists K>1$, s.t. $\|v+w\|\leq K(\|v\|+\|w\|)$.

有的书上有准范数的定义(Frechet空间的准范数).

2. $L^\infty(\mathbf R^n)$, $C_0(\mathbf R^n)$的对偶

$L^\infty(\mathbf R^n)$的对偶是有限的Borel测度(仅满足有限可加性), $C_0(\mathbf R^n)$的对偶是有界变差函数(可以写成两个单调函数的差, 作用可以写成Lebesgue-Stieltjes积分).

显然, $C_0^*\subset (L^\infty)^*$.  虽然$C_0\subset L^\infty$, 但是因为$C_0$不在$L^\infty$中稠密, 所以泛函的对偶关系$(L^\infty)^*\subset C_0^*$不成立(或者说(L^\infty)^*中的元素限制在$C_0$是零泛函). 比如一维欧式空间可以认为是二维欧氏空间的子空间，R= R\times {0}, R^2上的泛函可以作用到 R\times {0}， 但是限制到一维空间的对偶，(0,y) 看成二维对偶的元不为零，看成 R\times {0}的对偶的元等于零。(感谢王保祥教授帮我澄清这个概念)